數學小神探
新月形花圃面積怎麼算？
「媽媽，你們聚在中庭做什麼呢？」怡文有些驚訝的問。
這一天，數學偵探社約在怡文家聚會，一夥人走進社區中庭，就看到怡文媽媽、社區主委和不少鄰居站花圃旁，似乎在商量事情。
「怡文，還有你們大家都到啦！」怡文媽媽轉身過來打招呼，接著說：「因為大家打算好好整理中庭花圃，種植一些新的花草樹木，媽媽和各位委員正在討論該如何翻新，但是目前遇上一個難題。」
「怎麼了？」怡文問。
「你看，我們中庭正中央是一個接在大圓裡面的正方形廣場，正方形四個邊又往外各畫出一個半圓，和大圓之間形成四個新月形花圃。」媽媽邊說邊指著花圃。
「好特別的設計呵！」小傑說。
「那你們為什麼事情傷腦筋呢？」怡文問。
「因為整理需要委託園藝公司，他們是按照花圃面積來估價，中庭其他地方的花圃都是長方形，面積很容易算出來，但是這四個新月形花圃的面積不知道該怎麼計算？」主委趙伯伯笑著幫忙回答。
「那怎麼辦？」小傑熱心的問。
「可能只能估個大概面積。」怡文媽媽說。
「其實，這四個新月形花圃的總面積和這個正方形面積相同。」小維開口說。
「真的嗎？」主委和怡文媽媽異口同聲的說。
「沒錯。」小維肯定的點頭。
「為什麼一樣大？每個新月形花圃都是彎曲的形狀，怎麼會和正方形面積一樣？」小哲一頭霧水的發問，其他人也都一臉困惑的看著小維。只見小維拿出紙筆畫了起來，並寫了許多算式，接著開始用圖向大家講解計算的方式和過程。
「先設定大半圓的直徑是c，用直徑c當斜邊，在半圓的圓周上隨便找一個點，和直徑c圍成的三角形一定是直角三角形，將三角形另外兩個短邊分別設為a和b。」
小維繼續說：「很明顯，這個三角形的面積是a×b÷2=ab2。」
「那這兩個新月形的面積怎麼算？」小哲問。
「從圖可以看出來：兩個新月形面積的和＝兩個小半圓＋三角形－大半圓，所以算法就是
[(a2)2×π
「對了，直角三角形不是有個畢氏定理？記得好像是a^2+b^2=c^2 ，不知道對不對？」怡文回憶曾在書上看到的內容。
「沒錯！直角三角形的兩個短邊的平方和就等於斜邊平方。」小維說。
「這樣一來，剛剛算的結果((a^2+b^2-c^2)xxπ)/8+a_b/2，前面那項中的a^2_b^2-c^2就等於0啦，只剩下a_b/2……」怡文看著圖，突然恍然大悟，大聲喊道：「那就和三角形面積一模一樣。」
「原來如此，小朋友你真厲害，聽說你們是數學偵探社，果然是數學高手。」主委趙伯伯由衷讚嘆。
「那為什麼中庭四個新月會等於中央的正方形？」小傑突然腦袋打結，還是想不通。
「把大圓和正方形切成一半，不就和小維說的一樣了嗎？」小哲一邊比畫一邊對小傑說。
「我好像搞懂了。」小傑若有所思的應了一聲，只見他眉頭緊皺，不知道是否真的完全了解。
請問各位讀者，為什麼四個新月形花圃的面積會等於中央正方形面積？這背後的原理，你弄懂了嗎？
解答
將中央大圓和正方形切成一半，可得：A＋B＝甲，C＋D＝乙，所以四個新月形面積＝A＋B＋C＋D＝甲＋乙＝中央正方形面積。
偵探小挑戰
新月形周長等於多少？
如圖所示，如果大半圓內的三角形周長是2022，那兩個新月形區域的周長和是多少呢？
解答
因三角形周長是2022，所以a+b+c=2022。兩個新月形區域的周長和＝大的半圓周長＋兩個小的半圓周長＝cxxπxx1/2+axxπxx1/2+bxxπxx1/2=(a+b+c)/2xxπ=2022/2xxπ=1011π
