數學小神探

三個箱子的選擇

　「昨晚看了一個影片，很有意思！」小哲對同學說。

　「什麼影片啊？」大家好奇問。

　「桌子上放了三個一模一樣的箱子，其中一箱裝的是金銀財寶，另外兩箱只是普通的紀念品，只有主持人知道每一箱裡面是什麼，讓來賓選一箱。」小哲說明。

　「有三分之一的機會得大獎，哪裡有趣？」小傑聽到這兒馬上猜測。

　「我還沒說完啦！」小哲看了小傑一眼，然後說：「選好後，主持人打開另外一箱，結果是紀念品，然後問來賓要不要換箱子！」

　「換箱子？什麼意思啊？」阿泉一頭霧水。

　「比方三個箱子叫做A、B、C，假設來賓選A，主持人打開C，結果是紀念品，這時不是還有B嗎？主持人讓來賓考慮一分鐘，看要不要改選B。」小哲解釋。

　「原來如此！是我才不換，一定有詐！」小傑肯定說道。

　「對啊！主持人知道每一箱裡面是什麼，一定是來賓選到大獎，故意誘導他們換箱子，好壞喔！」一旁小敏也說。

　「那來賓換了嗎？」阿泉問。

　「沒有，結果打開是大獎！」小哲揭曉最後結果。

　「我就知道！主持人想騙人！」小傑一副拆穿騙局的口吻說。

　「其實……」這時小維突然開口，大家都望向他，小維接著說：「應該換箱子比較好，因為得獎的機率比較大！」

　「為什麼換箱子比較好？」小哲不解的問。

　「因為大獎在A、B、C的機率各三分之一，假設他們選A，中大獎機率就是三分之一。」小維說。

　「既然大獎在A、B、C的機率各三分之一，那他們換成B，中大獎機率也是三分之一啊！換不換有什麼差別？」小哲越聽越糊塗。

　「主持人打開C，剩A和B兩箱，中大獎機率應該A、B各二分之一吧？」小敏提出另一種想法。

　「換成B得大獎機率不是三分之一，而且打開C之後，也不是變成A、B得大獎機率各二分之一。」小維笑著說。

　所有人全都一臉困惑。

　「大獎在A的機率是三分之一，反過來說，大獎在B、C的機率就是三分之二，假設主持人打開其中一箱是紀念品，可以看成另一箱『獨占』這三分之二的機率，所以換箱子中大獎機率會是不換箱子的兩倍。」小維耐心跟大家解釋。

　「這太困難了，我完全聽不懂！」小傑有氣無力的說。

　「用圖來看就清楚了。」小維說完拿出筆在紙上畫了箱子。

　「大獎有可能在A、B、C，一共三種情況。情況一：選A，大獎也在A，主持人打開B、C其中一箱，不換得大獎。情況二：選A，大獎在B，主持人一定打開C，換成B得大獎。情況三：選A，大獎在C，主持人一定打開B，換成C得大獎。」

　小維指著圖說明：「只有情況一是不換得大獎，情況二、三都是換了才得大獎，所以說換箱子的中獎機率是不換的兩倍。」

　「原來是這樣！看圖果然就懂了！」一旁的同學說。

　「這麼說，影片中的來賓運氣真的很好，一開始就選中了大獎啊！」小哲不自覺的猛點頭。

偵探小挑戰
換不換？

　1.老師拿出黑桃A～6、8～K共12張撲克牌，洗牌後每次抽出一張讓小明猜比7大還是比7小，小明前兩次都猜大，結果老師分別抽出3和5，第三次小明改猜小，老師問他要不要換成大，請問小明該換嗎？

　2.老師拿出一枚10元硬幣，丟硬幣讓小明猜正面還是反面。小明前兩次都猜正面，結果老師都丟出反面，第三次小明改猜反面，老師問他要不要換成正面，請問小明該換嗎？

答案

　1.第三次老師手上還有10張牌，4張比7小，6張比7大，隨意抽一張，比7小的機率是4/10，比7大的機率是6/10，6/10?珛?軂?趪4/10，當然應該換成「大」。

　2.第二題和前一題不同，硬幣不管丟幾次，就算全是反面，下一次正面、反面的機率都是1/2，所以換不換成正面，猜中機率是相同的。